Bukti 1:

Kita punya

Tetapi, dengan ketaksamaan GM-AM, kita juga punya , dan dengan cara yang sama diperoleh dan . Jadi

Bukti 2:

Perhatikan bahwa

dan dengan cara yang sama diperoleh dan . Jadi

Bukti 3:

Kita punya

dan dengan cara serupa diperoleh dan . Jadi

Misalkan , , dan , maka , dan yang akan dibuktikan adalah . Setelah menyamakan penyebut, ketaksamaan tersebut menjadi yang ekuivalen dengan , yang jelas benar dengan ketaksamaan GM-AM.

Bukti 1:

Dari hubungan rekursif yang diberikan, diperoleh , maka , sehingga . Dari persamaan terakhir ini dan , maka diperoleh bahwa selalu berbentuk , untuk bilangan bulat dan . Misalkan untuk .

Kita akan membuktikan dengan induksi bahwa . Perhatikan bahwa menyebabkan . Karena , maka . Andaikan untuk . Maka , sehingga bukti kita selesai. Dengan cara yang sama, untuk semua . Jadi dan adalah bilangan cacah, sehingga pasti bilangan asli.

Telah dibuktikan dengan induksi di atas bahwa untuk semua . Akibatnya . Maka pasti habis dibagi .

Bukti 2:

Dengan cara seperti di atas, diperoleh . Tidak ada suku yang nilainya 0, maka kita bisa tulis persamaan tadi menjadi . Jadi nilai konstan, yaitu sama dengan . Jadi , sehingga jelas bahwa semua suku pada barisan itu adalah bilangan asli.

Perhatikan juga bahwa , sehingga adalah bilangan genap. Tetapi . Ke-2000 bilangan yang dikalikan tersebut semuanya adalah bilangan genap, sehingga habis dibagi .

Bukti 1:

Misalkan garis yang melalui titik dan sejajar dengan garis bagi sudut memotong garis di titik . Kita akan membuktikan bahwa dan . Sekarang, semua pernyataan simetris terhadap dan (artinya dan dapat dipertukarkan), maka tanpa mengurangi keumuman anggaplah .

Perhatikan bahwa dan . Maka , akibatnya .

Dengan dalil Menelaus pada segitiga dan garis transversal diperoleh . Karena , maka .

Dengan dalil Menelaus pada segitiga dan garis transversal diperoleh . Karena (telah dibuktikan di atas), maka .

Gabungkan kedua hasil di atas, maka kita mendapat bahwa , atau . Karena , , maka . Persamaan terakhir ini ekuivalen dengan
. Karena , maka sehingga .

Jadi dan . Dengan ini bukti kita sudah selesai.

Bukti 2:

Buat titik sedemikian sehingga adalah jajar genjang. Misalkan titik adalah perpotongan garis dan garis , misalkan juga titik adalah perpotongan garis dengan garis .

Karena adalah jajar genjang, maka garis sejajar dengan garis . Jadi segitiga sebangun dengan segitiga .

Perhatikan bahwa segitiga sebangun dengan segitiga sehingga . Kita juga tahu bahwa , maka . Karena segitiga sebangun dengan segitiga , maka , sehingga . Jadi, menurut teorema garis bagi, adalah garis bagi dari sudut .

Karena adalah jajar genjang, maka garis bagi dari sudut sejajar dengan garis bagi sudut . Jadi sejajar dengan garis bagi sudut . Akibatnya , , dan segaris. Misalkan . Perhatikan bahwa dan , maka . Tetapi adalah jajar genjang sehingga , akibatnya . Bukti kita selesai.